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テニスの物理学 ~ボール軌道のシミュレーション~

前3回にわたって,空気中でのボールの運動方程式を導いてきました.

今回は,その結果を用いて実際にシミュレーションを行った結果を紹介したいと思います.

サーブの軌道


とりあえずサーブのシミュレーションをしてみました.

身長175 cm の人がその1.5倍の高さでボールを打った(=2.625 m)と仮定しました.センターから相手コートのセンターめがけて打っています.
フラットサーブは初速150 km/h,スピンはなし,地面と平行な直線に対して-4.6度の角度で打ち出しています.
スピンサーブは初速80km/h,2000rpm,出射角は10度です.
serve_trajectory
上図において,緑線がフラットサーブの軌道,赤線がスピンサーブの軌道を表しています.縦に入った黒線はそれぞれ左から,ネット,サービスライン,ベースラインを示しています(高さはネットの高さ3 feetに揃っています).

各速度成分の時間変化も分かり,例えばフラットサーブの場合は次のようになります↓
serve_velocity
赤線がx軸方向の速度,青線がy軸方向の速度,黒線がトータルの速度です.0.5s付近で不連続に変化しているのが,コートでのバウンドを示しています.

相手コートのベースラインに到達するまでにかかる時間(traveling time)はフラットサーブは0.84秒,スピンサーブは1.6秒です.このときのボールスピードはフラットサーブで約59km/h,スピンサーブは約34km/hにまで落ちています.

ただし,サーブのように上から叩きつけるような軌道に関しては,バウンドを計算する際の仮定(ボールは最終的に転がり状態に移行する)が成り立たない可能性があるため,バウンド後の値に関しては正確でない可能性があります.

ちなみに,計算上は175cmの人でも300km/hのフラットサーブを入れることは可能です.ただし,背が高い人に比べて,許容できる角度誤差が小さいため,入れられる確率は非常に低くなります.

ストロークの軌道


続いてストロークの場合のシミュレーションです.
初速は全て100km/hで,高さ1mのボールをベースライン上から打ち出しています.トップスピン,スライスの回転量はともに3000rpmとしました.落下地点が22mあたりに揃うように,
フラットは出射角8.3度,トップスピンは15.7度,スライスは4.2度としました.

各ショットの軌道はこんな感じ↓です.
stroke_trajectory

さらに,各ショットのx軸方向への速度成分の時間発展を見てみると,こんな感じ↓になります.
stroke_vx
出射角の違いによってvxの初速にばらつきがでています.バウンドした際のvxの減衰は,バウンドの式からスライスで最も大きく,トップスピンで最も小さくなります.バウンドする前,スライスがフラットより遅いのは,揚力によって,x軸負方向への力を受けることと関係しています.

相手コートベースラインに到達するのにかかる時間と,そのときのボールスピードは
フラット 1.14 [s], 41.5 [km/h]
トップスピン 1.24 [s], 47.6 [km/h]
スライス 1.35 [s], 22.2 [km/h]
でした.

まとめ


ここ5回ほどを使って,ボール軌道のシミュレーションについて考えてきました.
あとは,気が向いたらですが,計算式とそのノーテーションのまとめや,プログラムの公開などを考えています.


参考

テーマ : テニス - ジャンル : スポーツ

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