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テニスの物理学 ~ボールの軌道を求める運動方程式~

テニスの物理学,「空気中でのボールの軌道について考えよう」第3回です.

前々回前回とそれぞれ空気中で運動するテニスボールに働く力について考えました.今回は,これらをまとめて運動方程式を導きたいと思います.


force_equation


上図のような状況を考えます.右側をx軸の正,上側をy軸の正方向とします.ボールの質量を m として,重力は mgF d前々回のテーマである「抗力」(drag force),F l前回のテーマである「揚力」(lift force)を表しています.

図のようにθを



とすると,x軸,y軸に対する運動方程式はそれぞれ





となります.さらに



であることと,





と表されることを考えて,運動方程式は





となります.ちなみに,抗力係数 C dと,揚力係数 C lはそれぞれ





です.これまで「トップスピン」の場合を考えてきましたが,「バックスピン」の場合は式(7)(8)において,C lの前の符号を反転させてください.

あとは適当な初期条件(初速,出射角,スピン)を与えて,コンピュータ君に連立微分方程式方程式(7)(8)を解いてもらえば,各時刻での v xv y が求められます.求めた v xv y をそれぞれ積分することでx , y の時間発展が分かり,それらを x-y プロットすれば,ボールの軌道が描けます.

コート上でのボールのバウンドも考慮に入れる場合は,前々々回の記事「テニスの物理学 ~コートでのバウンド~」を参考に,ボールの座標 y が地面からボールの半径分の高さに達した瞬間のv xv yを用いて







からバウンド後の v xv y,ωを求め,これらを初期条件として再び微分方程式(7)(8)を解くことによって,バウンド後の軌道が描けます.なお,式(11)(13)は「トップスピン」の場合を想定しており,バックスピンの場合はそれぞれの式のω1の符号を反転させてください.

tennis_bound1.png

次回はシミュレーションの結果を適当に掲載したいと考えています.

参考

テーマ : テニス - ジャンル : スポーツ

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