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テニスの物理学 ~ボールに対する空気抵抗~

今回からは空気中でのボールの描く軌道について考えてみたいと思います.

ボールに働く力は3つあり,

1. 誰もが知っている「重力」.地球の中心に向かって,ものをひきつける力です.

2. いわゆる空気抵抗.抗力 (drag force)と呼ぶことにします.ボールの進行方向と真逆の方向に向かって働きます.

3. 揚力 (lift force).物体の進行方向とは直交する方向に向かって働きます.(「揚力」というと,いかにも物を持ち上げる方向に働きそうですが,働く方向は上とはかぎりません.) マグナス力 (Magnus force)と呼ばれることもあります.トップスピンをかけるとボールが急激に沈んだり,スライスサーブが横に曲がったりするのは,この力が関係しています.

force_in_the _air
例えば上の図は,トップスピンのかかった,斜め下に向かって進むボールに対して働く力を示しています.

これらによる影響を3回に分けて記述していきたいと思います.
今回は「抗力」に関してです.


ボールに対する空気抵抗の影響


普段意識することはあまりないかもしれませんが,空気というのは意外と重いです (密度ρ=1.21 kg/m3ぐらい).
例えば,コートの端から端までボールが直線的に飛んだとして,ボールが掻き分けなければならない空気の重さは,



となります.ここで, R はボールの半径(0.033 m), l はコートの長さ(23.774 m)です.テニスボールは0.057 kg程度ですから,これはテニスボールよりも重いことになります.ボールは自分より重い量の空気を掻き分けて進まなければならないわけですから,コートの端にたどりつく頃にはかなり減速してしまっています.

ではこのとき具体的にどんな形の力が働いているかというと,



です(笑) (この式の形は次元解析から導かれます→Drag equation) ここで,A (= πR2)はボールの断面積, v はボールと空気の相対速度です.Cdは抗力係数(drag coefficient)と呼ばれる無次元量で,空気の性質やテニスボールの表面形状なんかによる影響をコミコミにした,都合のよいフィッティングパラメータ(実験結果と合うように適当に変えることのできる量)とでも思ってください.A. Stepanekによる研究では,



とすると実験結果とよく合うそうです.ここで,vspin (= R ω) は角速度ωのスピンによるボールの周速(peripheral speed)です.


さて,式(1)に含まれるパラメータのなかで,我々がどうこうできるのは,ボールのスピードに関係するパラメータ v のみです.ただし v は空気に対するボールの相対速度なので,風の影響を受けることになります.式(1)から,抗力はv の2乗に比例することがわかります.つまり,ボールの速度が遅い場合は抗力も弱く,ボールの速度が速い場合は抗力も強くなります.つまり,速いボールほど,より急激な減速を受けることになるわけです.

これってどのくらいの力なのでしょうか?

例えば,200 km/h (~ 55.5 m/s)のボールに働く力は,スピンと風の影響を無視して考えると,



となります.ボールに働く重力は F = mg から,0.56 [N]程度ですから,重力の6倍ほど強い力が働くことになります.結構なもんですよね.

逆に,40 km/h (~ 11.1 m/s)のボールに対しては,0.13 [N]程度(重力の1/4倍程度)となります.

じゃあ200km/h で放たれたサーブはレシーブするころには何km/h になっていて,レシーバーに到達するのに何秒ぐらいかかるわけ? という疑問が湧くのですが,それは微分方程式を解かないと分からないで,次々回の課題ということにしましょう(笑).

次回はスピンに関する力 「揚力」(もしくは「マグナス力」)について記述する予定です.

参考

テーマ : テニス - ジャンル : スポーツ

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