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テニスの物理学 ~コートでのバウンド~

今回から,「テニスと物理学」というテーマで記事を書いてみたいと思います.

とりあえずの目標としては,なるべく簡単に(難しいことは考えず適当にごまかして),コート上でのバウンドも含めたボール軌道のシミュレーションが行えるようにすることです.

第一回目はコート上でのボールバウンドについてです.高校物理で習う「力積」を用いて考えてみましょう.以降,コートとボールは,ともに変形しない物体であると仮定します.(もちろん,バウンドした瞬間にボールはコートに押し付けられて潰れるので,この仮定は正確ではありません.)

力積による運動量変化


地面に対して垂直な方向をy軸(上向きが正),水平な方向をx軸とします.よくやるように,ボールの運動をx,y方向それぞれに分けて考えます. m をボールの質量,vx をx軸方向へのボールの速度,vy をy軸方向へのボールの速度とします.
x軸方向に対しては,コートからの摩擦力 F がボールの進行方向とは逆に働きますので,運動方程式は



となります.
y軸方向は,垂直抗力 N を考えて,



となります.
さらにボールの回転に関して,



となります.ここで,R はボールの半径,I はボールの慣性モーメントであり,と表したときの定数αはテニスボールの場合0.55程度です.ωは角速度です.

さて,上記の式(1)(2)(3)を時間で積分したものが運動量変化を与えます.バウンドは時刻t1からt2にかけて起こるものとし,バウンド前の状態をで表し,バウンド後の状態をとします.

tennis_bound1.png


すると,式(1)(2)(3)はそれぞれ







となります.
ここでさらに,仮定を追加しましょう.ごく短い時間のあいだ,ある一定の力が作用したと考えると,式(4)(5)(6)は







となります.これらが考えの基礎となる力積による運動量変化を表す方程式です.

ここから,(1)y軸方向に関する変化と,(2)x軸+スピンに関する変化とで分けて考えてみましょう.

(1)y軸方向に関する変化


y軸方向に関係するのは式(8)です.わざわざ式を導いておいて何ですが,もっとシンプルに考えましょう.
コートの反発係数 e を用いれば



となります.以上(笑) 負符号は運動する方向が逆転(落下していたボールが地面で跳ねて上昇へと転ずる)することを示し,係数 e はバウンド前後での速さの比率を与えます.

(2)x軸+スピンに関する変化


x軸方向に関係するのは式(7),スピンに関係するのは式(9)です.
ここで,バウンドの定性的な考察から得られる,x軸方向の運動とスピンを関係させる式を導入しましょう.
ボールは地面と接しているごくわずかな時間で,滑り状態から転がり状態へと移行します.(ただし,スマッシュやサーブのように上から強く叩きつけるような軌道の場合,転がり状態へ移行する前に地面を離れることもあります.) 転がり状態に移行してからはエネルギーの散逸はないものと考えます.転がり状態では,ボールの重心が移動する速度と,回転によるボール底部の速度が釣り合っているはずなので,



であるはずです.

tennis_bound2.png


式(7),(9)をそれぞれv2x, ω2について解き,





式(11)へと代入すると,



となるので,この式をτについて解くことで



を得ます.(を用いました.)最後にこのτを式(12)(13)へと代入することで





が得られます.

以上,式(16)(10)(17)によって,バウンド後のボールの状態が大雑把に記述できるようになりました.

例えば,
,つまりボールの重心速度に対してスピン量が少ない場合,バウンド後のボール速度は減少し,スピン量は増える.
逆に,,つまりボールの重心速度に対してスピン量が過剰な場合,バウンド後にはボール速度が増し,スピン量は減少する.
といった具合に,直感的な結果に合致しているような気がします.
まあ,コートの特性を記述する重要な量である摩擦係数が式の中に入ってこないというのは問題ある気がしますが・・・.

次は空中でボールの描く軌道について考えてみたいと思います.


参考書

テーマ : テニス - ジャンル : スポーツ

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